Задачи на переливания

Это учебная статья по математике, перед началом занятий мы рекомендуем ознакомиться с вводной частью

Все задачи на переливания принципиально делятся на 2 типа.

Первый – когда у нас есть много жидкости (озеро, бесконечно большая бочка, водопровод), и мы можем наполнять доверху сосуды сколь угодно большое количество раз, то есть количество жидкости не ограничено. При этом мы можем безбоязненно выливать воду из сосудов.

Второй – это когда жидкости у нас ровно столько, сколько изначально налито в сосудах (в этом случае у нас обычно не простая жидкость, а какая-либо особенная: молоко, сок и т. д.). Чаще всего эту жидкость ещё и нельзя проливать – авторы стараются это отдельно оговаривать. Если же мы можем выливать жидкость, то в условиях задачи обычно присутствует какой-либо персонаж, который может пить данный тип жидкости: Кот Баюн, сосед Гриша и т. п.

Также стоит понять принцип задач на переливания: например, если у нас есть сосуд объемом 8 литров и 5 литров, и нам надо отмерить 2 литра воды, мы не имеем права на следующее решение: «Наполним восьмилитровый сосуд на четверть – таким образом, мы и получим 2 литра воды». Или: «Давайте опустошим наш 5 литровый сосуд на 60%, тогда в нем останется ровно 2 литра воды». Нет, так делать нельзя. (Если у ребёнка в этом месте возникают вопросы, то вы можете придумать, например, такое оригинальное объяснение: «А вдруг наш сосуд – это какая-нибудь замысловатая ваза (или древняя амфора), конечно, без шкалы делений!» Или даже просто банка не вполне симметрична, а на глаз определить середину – проблематично…) Мы можем либо полностью наполнять сосуды, либо полностью опустошать их, либо переливать из одного сосуда в другой. При этом мы можем пользоваться тем, что при этих операциях часть воды может оставаться в сосуде, из которого дополняется другой сосуд.

Для примера решим три задачи.

Задача 1-го типа

Для приготовления компота маме нужно налить в 5-литровую кастрюли 4 литра воды. Как маме справиться с этой задачей, если у мамы есть кроме этой кастрюли ещё 3-литровая банка, водопроводный кран и раковина, куда можно выливать воду?

Решение.

Нальём в 3-литровую банку воду и перельём её в кастрюлю. Затем еще раз наполним банку и выльём в кастрюлю, сколько поместится. Тогда в кастрюле будет 5 литров и 1 литр в 3-литровой банке. Теперь выльем всю воду из кастрюли в раковину. Затем перельем литр из банки в кастрюлю и добавим ещё три литра, наполнив банку ещё раз. Теперь в кастрюле 1 + 3 = 4 литра, что и требовалось. Задача решена.

Наше решение можно проиллюстрировать таблицей:

Итак, мы получили желанные 4 литра. Задача решена! Мы считаем, что такой способ решения с помощью таблицы является достаточно наглядным, и рекомендуем для вашего совместного с ребёнком решения.

Задача 2-го типа

У Марьи есть 2 кувшина объёмом 8 и 3 литра. В восьмилитровом кувшине налит весь имеющийся у Марьи кисель. Как отмерить 2 литра киселя? Все излишки киселя можно отдать Коту Баюну, который просто обожает это лакомство.

Решение.

Наполним трехлитровый кувшин доверху из восьмилитрового, после этого у нас будет 5 литров в 8-литровом и 3 литра в 3-литровом. Отдадим весь кисель из 3-литрового кувшина Коту Баюну. После этого у нас осталось 5 литров в 8-литровом и 3-литровый кувшин пуст. Снова наполним 3-литровый кувшин из 8-литрового. После этой операции в 8-литровом кувшине у нас останется ровно 2 литра (5 – 3 = 2). Мы отмерили 2 литра. Задача решена!

Решение также можно проиллюстрировать таблицей:

Ещё одна задача 2-го типа

Задача 3.

В кастрюле налито 8 литров супа. Есть также пустые 3-х и 5-тилитровая банки. Требуется отмерить 4 литра супа. Как это сделать, если суп нельзя проливать?

Решение.

1 способ. Нальём суп доверху в меньшую банку, затем перельём полученные три литра в 5-литровую банку, а 3-литровую наполним снова. Теперь будем лить суп из 3-литровой банки в 5-литровую, пока она не наполнится доверху. Тогда в меньшей банке останется 1 литр (5 – 3 = 2 и 3 – 2 = 1). Перельём 5 литров в кастрюлю, а 1 литр – в большую банку. Затем перельём 3 литра из кастрюли в меньшую банку. После этого в кастрюле останется ровно 4 литра. Задача решена.

2 способ. Нальём суп доверху в большую банку, тогда в кастрюле останется ровно 3 литр. Перельём из большой банки в меньшую 3 литра, после чего перельём их в кастрюлю. Перельём 2 литра из большой банки в меньшую, и наполним большую банку доверху супом из кастрюли. После чего дольём меньшую банку (там было 2 литра, а помещается 3) из большей банки. Получим 4 литра в большой банке. Задача решена.

Проиллюстрируем оба способа таблицам:

Советуем использовать таблицу при решении подобных задач.

Также ребёнку можно дать следующую подсказку. Речь пойдет о задачах, где разрешается выливать жидкости. Пусть в какой-то момент наполнены все сосуды, может быть, частично. Тогда перед ребенком стоит вопрос о том, откуда вылить жидкость. Выливать стоит из полного сосуда, а не из полупустого, так как количество литров в полном сосуде мы всегда с лёгкостью снова получим, тогда как получить полупустой сосуд − дело затруднительное. Надеемся, что в процессе работы вы сами сможете придумать множество оригинальных приемов и способов!

Обратите внимание, что приведённые решения могут не являться единственными. Ни в коем случае не говорите ребёнку, что он как-то не так стал решать задачу, если первым ходом он, допустим, налил воду из крана не в больший, а в меньший сосуд! Просто тщательно следите за его действиями. В большинстве задач есть как минимум 2 способа решения, и, скорее всего, при правильном выполнении переливаний ваш ребёнок в конечном итоге получит результат. Правда, возможно, за большее число ходов, зато – сколько удовольствия от самостоятельного решения без подсказок он получит!

Желаем успехов!