Решение задачи с двух сторон

Это учебная статья по математике, перед началом занятий мы рекомендуем ознакомиться с вводной частью

Если насморк не лечить, он проходит через неделю, а если лечить – через семь дней.

(рисунок Эшера «День и ночь»)

В этот раз занятие посвящено идее простой, но редко приходящей в голову. Иногда, чтобы решить проблему, стоит посмотреть на неё с разных точек зрения. В математике это чаще всего задачи на подсчёт чего-либо. Покажем на примере.

Задача 1.

Можно ли в таблице размером 7 ✕ 8 (7 строк и 8 столбцов) расставить какие-либо числа так, чтобы сумма чисел в каждом столбце была равна 4, а в каждой строке – 6?

Решение.

Предположим, это возможно. Посчитаем тогда сумму всех чисел таблицы двумя способами:

1. Как сумму по строкам: в каждой строке сумма 6, строк 7 – сумма семи шестерок = 42.
2. Как сумму по столбцам: в каждом столбце сумма 4, столбцов 8 – сумма восьми четверок = 32.

Поскольку мы считали двумя способами одну и ту же сумму всех чисел таблицы, то и получиться должны были равные числа. А так как не получились – значит, расставить так числа невозможно.

В этой задаче, кроме самой идеи посчитать суммы, присутствует ещё один элемент доказательства – «предположим противное». Зачастую ребёнку достаточно сложно понять, как такое вообще возможно. Если подобные трудности возникают, отложите временно задачу, перейдите к другой.

Задача 2.

Дима вбил три гвоздика и натянул между ними верёвки так, что к каждому гвоздику оказались привязаны по 2 верёвки. Сколько всего верёвок?

Решение.

Разрежем все верёвки. Тогда верёвок станет в два раза больше. Но теперь к каждому гвоздику привязаны по две верёвки (по два «хвостика» от веревки), которые уже ни с чем не связаны. Значит, всего 2 × 3 = 6. Но каждые два таких «хвостика» раньше образовывали целую верёвку. Поэтому было 6 : 2 = 3 верёвки. Заметим, что решение не зависит от того, какие верёвки какие гвоздики связывают.

Ответ:

3 верёвки.

В занятие включены также задачи, где уже что-то посчитано двумя способами или что-то выполняется с двух сторон. Это более легкие задачи и ими стоит перемежать решения и разбор более сложных задач.

Разберем ещё несколько задач.

Задача 3.

Петя с бабушкой вычисляли площадь дачного участка. У бабушки получилось 12 соток, а у Пети – 1200 квадратных метров. Оба утверждают, что не ошиблись. Как такое могло получиться?

Решение.

Всё в порядке. Одна сотка равна одному ару или 100 квадратным метрам, поэтому 12 соток как раз равны 1200 квадратным метрам. Обсуждая решение этой задачи можно поговорить с ребёнком о том, какие вообще меры площади бывают.

Задача 4.

На репетиции парада участники строились в колонны. Когда попросили построиться всех девочек, то в колонне оказалось 7 рядов, причём все барабанщицы стояли в одном ряду (то есть был ряд только из девочек-барабанщиц). Когда же всех барабанщиков попросили построиться, то они выстроились в колонну из 5 рядов, и все девочки стояли в одном ряду. Кого больше участвовало в репетиции: девочек или барабанщиков?

Решение.

Заметим, что девочки-барабанщицы присутствовали в обоих случаях. Тогда в первом случае, если девочек всего было 7 рядов, а один – девочки-барабанщицы, то девочек всего было в 7 раз больше, чем барабанщиц. Во втором случае всех барабанщиков было в 5 раз больше, чем барабанщиц. Значит, девочек больше, чем барабанщиков.

Ответ:

больше девочек.

Отдельной темой нынешнего занятия являются «двойственные картинки», то есть картинки, в которых можно разглядеть разное в зависимости от желания. Это самая забавная часть занятия и, надеемся, доставит удовольствие не только детям, но и взрослым.

Вопрос.

Сколько кубиков вы видите на картинке?

Ответ:

шесть, если считать, что кубики аккуратно стоят в углу снизу вверх (чёрной гранью вверх). Семь, если считать, что кубики «навалены» в угол (чёрной гранью вперед).

В таких «задачах» важно понять, что нет правильных и неправильных ответов. Разглядывание таких картинок полезно в качестве подготовительных упражнений к геометрическим задачам.

Желаем успехов!