Как построить пример? Решение задач на конструктивы

Занимательная математика
Нестандартные задачи с решением
Олимпиадные задания

Это учебная статья по математике, перед началом занятий мы рекомендуем ознакомиться с вводной частью

В математике часто встречаются задачи, в которых вопрос звучит следующим образом: «Можно ли …?» «Существует ли …?» Возможно, что задачи, которые вы решали, звучали так: «Нарисуйте…», «Постройте…», «Найдите среди…» Но везде, в каждой такой задаче, требовалось придумать какой-нибудь пример или что-то выбрать из предложенных предметов. Например, в теме «Разрезания» была такая задача:

Задача 1.

Разрежьте квадрат 4 ✕ 4 на 4 равных фигурки, каждая из которых состоит из 4 клеточек, составленных в форме буквы Т.

Alt text

Решение.

Мы строили требуемое постепенно. Поставили одну такую фигурку в угол квадрата, а затем по аналогии заполнили всю оставшуюся часть квадрата такими же фигурками.

Alt text

Ответ:

Alt text

Задача 2.

Alt text

Нарисуйте 9 квадратиков, как на картинке сверху, выберите карандаши трёх разных цветов и раскрасьте квадраты так, чтобы в каждой строчке и в каждом столбике были квадраты всех трёх цветов.

Alt text

Алгоритм решения этой задачи может быть различным. Самый простой – раскрасим в три цвета первый ряд. Например, так, как сверху: красный, жёлтый, синий. Посмотрим на второй ряд и раскрасим первый квадрат в любой, отличный от красного цвет. Пусть синий. Тогда второй квадрат в этом ряду можно раскрасить уже только в красный цвет, а оставшийся – только в жёлтый. Для третьего ряда уже есть только один вариант.

Ответ:

Alt text

Напомним ещё одну задачу.

Задача 3.

Расставьте вдоль стен большой квадратной комнаты а) 4 стула; б) 5 стульев; в) 7 стульев так, чтобы у каждой стены стояли по два стула. (В центр комнаты стулья ставить нельзя.)

Решение.

В каждом пункте, если ставить по два стула у стены, стульев не хватит. Поэтому нужна идея, как обойтись меньшим числом стульев. То есть решить, куда нужно поставить стул, чтоб он оказался одновременно у двух стен?

Пункт а). Если поставить стул в угол, то он будет стоять сразу около двух стен; а так как углов всего 4, и каждая стена оканчивается двумя углами – то, использовав всего 4 стула, мы сможем поставить около каждой стены по 2 стула (см. рис.).

Alt text

Пункт б). Для того чтобы поставить 5 стульев, не нарушив условия, нужно передвинуть 1 стул из угла к середине стены. Тогда около соседней стены останется только 1 стул. Туда и поставим пятый стул, но не в угол, а посередине. Таким образом, в комнате стоит 5 стульев, и условие задачи выполнено.

Alt text

Пункт в). Аналогичным образом (передвинув 1 стул из угла к середине стены и поставив шестой стул в центре соседней стены) мы сможем добиться сначала расстановки 6 стульев, а затем и 7.

Alt text

Конечно, можно было решать эту задачу по-другому: расставить сначала 8 стульев – по два у каждой стены, а потом, убирая по одному стулу, решать, как распределить остальные стулья.

Что общего между всеми этими задачами? И в том и в другом случае мы строили пример или конструкцию. Такие задачи называются «задачами на конструкцию» или «конструктивными».

Рассмотрим ещё несколько задач.

Задача 4.

Директор вызвал трёх учеников и поставил их в ряд. У одного из них испорченный дневник. За один ход ученик передаёт дневник незаметно для директора соседу. Директор за свой ход может проверить одного ученика. Ходят по очереди, начинает директор. Как должен действовать директор, чтобы обнаружить дневник?

Решение.

Директор должен проверить ученика, стоящего по центру. Если у него нет дневника, то на следующий ход дневник будет у него, так как у остальных двоих нет других соседей. Директор проверит своим вторым ходом снова стоящего по центру ученика и обнаружит дневник.

Задача 5.

Расставьте в таблице 3 × 3 числа от 1 до 9 так, чтобы сумма трёх чисел в любой строке и любом столбце была одной и той же.

Решение.

Чтобы подсчитать, какая сумма должна быть в каждой строке, надо посчитать сумму чисел от 1 до 9 (= 45). Всего строк три. Значит, 45 надо разделить на 3. Даже если ребёнок не проходил деления, тем не менее, мы надеемся, что он сможет сообразить, как разделить 45 предметов на три равные по количеству предметов группы. Значит, в каждой строке будет сумма, равная 15. Аналогично и в каждом столбце будет сумма, равная 15. Расставим числа:

Alt text

Желаем успехов!

Испытайте свои знания!

Для самых умных и талантливых учеников мы проводим на сайте дистанционную интернет-олимпиаду. Сразу же после прохождения олимпиады показываются результаты и полный разбор задач для работы над ошибками. В зависимости от успехов олимпиадника выдаются электронные дипломы и похвальные грамоты.

Каждый участник получает электронный сертификат участника.

Принять участие