Множества в 1 классе

Нестандартные задачи с решением
Олимпиадные задания
Математическое развитие
Сложные задачи

Это учебная статья по математике, перед началом занятий мы рекомендуем ознакомиться с вводной частью

Это занятие предложено вам в несколько непривычном формате. Вместо объяснения основных принципов решения задач во вводном слове и приведения ниже списка задач на усвоение, мы предложим вам вместе с ребёнком познакомиться с множествами в игровой форме, а также не будем лишать маленького ученика радости небольших, но очень интересных открытий.

Итак, что такое множество? Это очень сложный вопрос, и ответ на него мы начнём искать издалека. Для начала давайте вместе с ребёнком зададимся вопросом: «Как можно назвать одним словом несколько коров?» Конечно же, ни для кого не секрет, что их можно назвать стадом. А как можно назвать коров, свиней и котят? Ответ очевиден: домашние животные. Хорошо. А какое одно слово можно придумать для обозначения коров, свиней, котят и тигров? Тигр – уже не домашнее животное. Но все они – звери. Значит, можно этот набор животных назвать зверями. Теперь придумайте слово для обозначения коров, свиней, котят, тигров, чаек? Чайка – не зверь, следовательно, слово «звери» тут не подойдёт. Зато чайка, как и все остальные – животное. Отлично! Мы придумали нужное слово: коровы, свиньи, котята, тигры и чайки – это животные. (Кстати, заметим в скобках, что для обозначения одним словом коров, тигров, чаек и человека слово «животное» тоже бы подошло – ведь человек тоже в некотором роде животное – живое существо). А теперь стоит задать вопрос, который поставит в тупик любого: «Как обозначить одним словом коров, котят, тигров, чаек и самовар?» Конечно, русский язык велик и могуч, но ведь не для любого набора предметов можно найти описывающее его одно слово!

Упражнение 1.

Придумайте несколько наборов предметов, для которых вы не сможете подобрать одного описывающего их слова.

Но математикам чаще всего приходится работать не со стадами коров или стаями чаек, а с непонятными и неопределёнными объектами. Именно поэтому, для описания любого набора любых объектов, чтобы больше не ломать голову, как же это всё называется, хитрые математики придумали универсальное слово: МНОЖЕСТВО. Теперь, когда и мы его узнали, у нас не возникнет больше проблем с ответом на вопрос: «Что такое кувшин, апельсин, пианино, девочка и сон?» – мы с лёгкостью ответим: «Это множество!» «Множество чего?» – спросите вы. «Множество названных вами объектов. А именно, это множество состоит из: кувшина, апельсина, пианино, девочки и сна. Такое вот множество». Мы словно взяли домик, заселили его всеми перечисленными жителями, и назвали наш домик МНОЖЕСТВО, а всех жителей этого домика ЭЛЕМЕНТАМИ этого множества. Для того, чтобы описать множество, достаточно перечислить все объекты (то есть всех жителей домика), содержащиеся в нём. Эти объекты называются элементами множества. Например, когда мы говорили, что наше множество состоит из кувшина, апельсина, пианино, девочки и сна, – мы перечисляли объекты этого конкретного множество. У разных множеств могут быть разные объекты: ведь мы всегда можем из домика выселить прежних жильцов, заселить его новыми – и вновь назвать жильцов множеством. Однако именно перечислить все объекты множества зачастую не удаётся, например, такое множество: {1, 2, 3, 4, 5, …}. Произнести все возможные числа просто нельзя! Тогда достаточно просто описать словами, что мы подразумеваем под этим множеством: множество чисел, множество людей на Земле, множество белых кур.

Но вернёмся к количеству элементов множества. Итак, мы выяснили, что во множестве может быть как мало, так и много элементов, очень много. Даже иногда столько, что все элементы и не перечислишь. А может ли их быть совсем мало? Обязательно ли в домике должно быть много жителей? Совсем нет! Наш дом не обязательно большой! А если мы поселим в него только 1 цветок – будет ли этот цветок множеством? А почему нет? Ведь он живёт в нашем домике. Таким образом, несмотря на слово «много» (от которого, очевидно, в русском языке и образовалось слово «множество»), – во множестве не обязательно много объектов.

Лирическое отступление

А что, собственно говоря, обозначает слово «много»? Много – это сколько? 5 – это много? А 10? А 15? 15 – уже смотря чего. А точнее – для чего. Ведь одного и того же количества чего-либо для одной цели может быть много, а для другой – мало. Например, 15 минут для того, чтобы съесть кусок торта – много, а для того, чтобы сделать на завтра домашнее задание – явно мало. Аналогично 15 поленьев – очень много для того, чтобы один раз протопить печь. А для того, чтобы греться всю зиму, – очевидно, очень мало. Так как же определить, когда наступает этот момент: «много»? А если убрать один предмет из нашего «много» – станет мало? Например, 1 песчинка – это много? А две песчинки? Нет, явно мало. А когда же будет много? Целая куча песка – много? А если из неё забрать одну песчинку – это всё равно будет много? Но если забрать всю кучу, оставив только 10 песчинок, – это будет мало. Так, где же золотая середина? Где кончается МАЛО и начинается МНОГО? На этот вопрос нельзя дать однозначного ответа. Для каждой ситуации и каждого обстоятельства он свой. Допустим, если в глаз попала песчинка – это больно! А если попало целых три песчинки? Это уже очень больно, потому что очень много песчинок! Вот оно как! А ведь мы недавно обсуждали, что целых десять песчинок – это мало!

В романе Даниэля Дефо «Жизнь и удивительные приключения Робинзона Крузо» есть разговор между Пятницей и Робинзоном:

Пятница: А наши всё-таки много побили.

Робинзон: А как же так случилось, что тебя захватили в плен?

Пятница: Их было больше, чем наших, в том месте, где был я. Они схватили: один, два, три и меня. Наши побили их в другом месте, где я не был; там наши схватили: один, два, три, много.

Пятница, не умея толком считать, называл словом «много» любое количество, больше трёх.

Математике же, как точной науке, очень не по душе пришлось это нечёткое определение границ «много» и «мало». Всё, что математики не понимают, они называют специальным словом парадокс (от древнегреческого παράδοξος — неожиданный, странный — ситуация, которая может существовать в реальности, но не имеет логического объяснения). Описанную выше ситуацию про песчинки стали называть парадоксом кучи.

Но вернёмся к нашим множествам-домикам. А может в домике никто не жить? Конечно, такое бывает. Тогда этот домик пуст. По аналогии с этим, мы будем называть множество, в котором ничего нет, – пустым множеством. Например, перечислите все объекты множества огнедышащих вулканов у вас в комнате. Конечно, вряд ли у вас в комнате поместится хотя бы одна такая махина. Значит, наш домик останется пустым, а, следовательно, множество огнедышащих вулканов у вас в комнате – пустое. Контрольный вопрос. Как вы думаете, что мы можем сказать об элементах пустого множества?

Да всё что угодно! Ведь элементов, входящих в пустое множество, не существует, а значит, не существует и противоречия к любому нашему утверждению. Например, можно ли сказать, что все огнедышащие вулканы у вас в комнате ещё и плюются водой? Конечно можно! Потому что найти хоть один не плюющийся водой огнедышащий вулкан мы не сможем.

Замечание.

Мы не будем долго останавливаться на этом факте – ведь он вам уже знаком из занятия Логика. Однако для его переосмысления всё-таки стоит ещё раз проговорить с ребёнком всё, что было им усвоено по этой теме в Логике.

Упражнение 2.

Являются ли множествами следующие наборы объектов? Если являются – перечислите их элементы.

  1. стол, стул, жираф, окно, конфета;
  2. девочка Алиса, мышеловка, математика;
  3. цвета радуги;
  4. буквы русского алфавита;
  5. имена твоих друзей;
  6. буквы в слове «МАТЕМАТИКА»;
  7. Малыш и Карлсон;
  8. спящие кошки.

Как вы думаете, может один и то же предмет, например солнце, являться элементом сразу двух множеств? Проще говоря, может ли солнце жить в нескольких домиках? Конечно, может. Например, в одном домике будут жить всё круглое, а во втором – всё горячее. А может солнце жить в трёх домиках? Например, ещё в домике, где, по нашему указанию, будут жить солнце, котёнок, планета Земля, мальчик Егорка, ботинки и кипящий чайник. Заметьте, что третье множество мы описали, назвав все входящие в него элементы. А первое и второе множества мы описали, не перечисляя всех элементов, а только указав на их характерные черты. Но при этом мы всегда сможем сказать, является ли тот или иной предмет элементом одного из этих трёх множеств. Так, солнце является элементом сразу трёх множеств; печка является элементом только второго, «горячего» множества; мячик – элементом «круглого» множества; ботинки – только элементом третьего множества, нашего перечисленного набора. Если какой-то предмет является элементом множества, то говорят, что он принадлежит этому множеству или является его элементом. Так, мальчик Егорка принадлежит третьему множеству, а блинчик – первому, «круглому» множеству.

Упражнение 3.

Найдите в третьем множестве элементы, принадлежащие первому или второму множеству.

Решение.

Кипящий чайник принадлежит ко второму, «горячему» множеству. Планета Земля является элементом первого, «круглого» множества.

Упражнение 4.

Укажите, принадлежат ли данные предметы указанным множествам?

  1. белка – множеству, состоящему из жирафа, крокодила, березы и белки;
  2. буква А – множеству букв русского алфавита;
  3. Крошка Енот – множеству, состоящему из всех героев мультфильмов;
  4. роза – множеству цветов;
  5. потолок – множеству, состоящему из стены, соломы, пола и окна;
  6. скала – множеству всего живого на земле;
  7. велосипед – множеству средств передвижения;
  8. число 34 – множеству всех чисел.

Проще всего всё, изложенное выше, продемонстрировать на наглядном примере. Позволим дальше ребёнку осваивать теорию множеств руками. Для этого нам потребуются ножницы, три куска верёвки и много терпения.

Ниже нарисовано несколько фигурок. Вырежьте их. Возьмите 2 верёвочки и сложите их на столе перед ребёнком двумя непересекающимися кольцами. Это будут наши домики. Положите перед ребёнком фигурки.

Alt text

Для начала, попросите ребёнка назвать все положенные перед ним фигуры – это треугольники, квадраты, прямоугольники, пятиугольники и круги. Они бывают маленькими и большими. Белыми и чёрными.

Практикум №1.

Теперь попросите ребёнка положить в одно из колец-«домиков» все белые фигуры, а в другое кольцо – все чёрные. Когда задание выполнено, можно попросить поместить в одно кольцо все маленькие фигуры, а в другое – все большие. Замечательно! Теперь усложняем задание: в одно кольцо должны попасть все квадраты, а в другое – все круги. Куда же девать треугольники? Ведь им не хватило места ни в одном из «домиков»! Ну, не беда. Оставим их просто так лежать на столе.

Практикум №2.

Усложняем задание: в один из кругов нужно положить все чёрные фигуры, а в другой – все маленькие. Это уже сложнее. У нас ведь есть несколько маленьких чёрных фигур – как же с ними быть? Но не спешите подсказывать своему ученику. Когда его работа будет закончена, и он скажет, что всё разложил, спросите – уверен ли он, что вот эта маленькая фигура не должна лежать в «маленьком» домике (или вот эта чёрная – в «чёрном»). Как только все сомнения разрешены, и работа снова закончена, опять спросите, правда ли, что вот эта фигурка – не маленькая? Результатом всех этих переговоров и раздумий должно явиться самостоятельное решение ребёнка сдвинуть два кольца так, чтобы они пересекались, и в их пересечение положить те самые чёрные маленькие фигурки, с которыми было столько проблем. Часть фигурок по-прежнему осталась на столе, но это и не страшно – мы уже заем, что так может быть.

Практикум №3.

Теперь давайте познакомимся с чудесами математики. Попросите ребёнка посчитать все квадратики. После этого отдельно посчитать все большие фигурки. Сколько их всего? Конечно, это определяется сложением: (К + Б = …) Отлично! Попросите ребёнка положить в одно кольцо все квадратики, а в другое – все большие фигурки. Теперь у нас пойдёт всё легко и быстро, раз мы разобрались с проблемами в предыдущем задании. Мы положили в два кольца все квадратики и все большие фигурки. Сосчитайте, сколько всего фигурок. А теперь давайте сосчитаем, сколько фигурок лежит в кругах. Теперь, если вы сложите получившиеся числа (К + Б), то у вас получится число больше, чем всего фигурок. Почему так получилось? Если ответ на этот вопрос никак не удаётся получить, можно, например, ещё раз посчитать все квадратики (а затем – и все большие фигурки), тыкая в каждую пальчиком. Может быть, мы какую-то фигурку посчитали дважды?

Теперь, когда пришло осознание, что мы два раза посчитали те элементы, что попали в пересечение, можно просить ребёнка складывать в кольца треугольники и белые фигурки, круги и маленькие фигурки, белые и большие фигурки. Каждый раз просите его сосчитать сначала отдельно жителей в каждом кольце и их сумму, а потом – всё вместе. Спрашивайте, почему получилась такая разница. Кстати, можете попытаться определить, чему, собственно, равна разница. Почему, например, если сложить все квадратики и все большие фигуры, то сумма будет на сколько-то больше, чем фигур на самом деле? Откуда берётся именно такое число?

Практикум №4.

Ниже приведены карточки. Вырежьте их. Положите их, как обычно, перед ребёнком на столе. (Если у вас нет возможности распечатать карточки в цвете, распечатайте в чёрно-белом варианте, а потом раскрасьте фломастерами или карандашами. В данном задании цвет очень важен). Также положите три непересекающихся кольца, и попросите в одно кольцо складывать только красные предметы, в другое – только круглые, в третье – только съедобные. Вы можете напоминать, в какое кольцо, что следует класть (а лучше, чтобы ребёнок не путался, в одно кольцо положить какую-нибудь красную вещь, в другое – что-то съедобное, в третье – круглое, монетку, например), но не стоит подсказывать ребёнку, как следует сдвигать кольца. Только когда работа уже окончена, если в разложении есть ошибки, то следует задать уже известный нам наводящий вопрос: «А разве эта вещь не красная?..»

Alt text

Практикум №5.

Попросите ребёнка положить в один круг все квадраты, а в другой – все прямоугольники. А является ли прямоугольник квадратом? (Ответ – «нет». А любой квадрат является прямоугольником.)

Теперь давайте поговорим вот о чём: чего на свете больше: синиц или птиц? А почему? Комаров или насекомых? Мальчиков или детей? Автобусов с номером, в котором есть цифра «2» или всех вообще автобусов с номером? Квадратов или прямоугольников на вашем столе?

Комментарий.

В этом практикуме не следует сразу требовать с ребёнка чёткого и ясного объяснения, почему насекомых больше, чем комаров. Достаточно просто задать этот вопрос, выслушать пояснение ребёнка, задать следующий, снова одобрительно выслушать. К этому вопросу стоит вернуться через день или неделю, снова его задать. Возможно, потом ещё раз. Главное, чтобы осознание пришло само, а не было объяснено или навязано наставником, родителем или взрослым. Гораздо ценнее дать ребёнку самому осмыслить и осознать этот вопрос.

Таким образом, пройдя все предыдущие упражнения этого занятия, мы обнаружили один очень интересный факт.

Пусть есть два множества. Мы сосчитали фигурки в одном и в другом множестве (например, сосчитали белые фигурки и маленькие фигурки). Оказалось, что сумма этих двух чисел больше, чем всего фигурок. Это значит, что есть несколько общих фигурок, то есть в данном случае есть несколько маленьких белых фигурок.

Alt text

Изобразим это на рисунке. Как теперь определить количество маленьких белых фигурок? Допустим, что маленьких фигурок 6, белых – 4, а всего фигурок 8. Но ведь сумма маленьких и белых равна 6 + 4 = 10. Значит, есть какие-то маленькие белые фигурки. Посмотрим на рисунок. Белые включают в себя как Только Белые (ТБ), так и Маленькие Белые (МБ) фигурки. Маленькие фигурки также складываются из Только Маленьких (ТМ) и Маленьких Белых (МБ). Таким образом, в пересечении двух кругов мы, складывая маленькие фигурки и белые фигурки, посчитали их два раза: один раз как меленькие (М), другой – как белые (Б). То есть М + Б = (ТБ + МБ) + (ТМ + МБ) = ТБ + ТМ + 2МБ = 10. Как же посчитать, сколько у нас меленьких белых фигурок? Для этого достаточно увидеть, что всего у нас фигурок 8, и это ТБ + ТМ + МБ. Так как ТБ + ТМ + 2МБ = 10, то лишний раз посчитанные МБ как раз и равны получившейся разнице: 10 – 8 = 2. Действительно, если всего маленьких белых фигурок получилось 2, то только маленьких будет 6 – 2 = 4, а только белых 4 – 2 = 2. Итого фигур получится 4 + 2 + 2 – как раз восемь. Изобразим, как они будут расположены в наших кругах-«домиках»:

Alt text

Все описанные выше рассуждения специально были проведены на уже близких ребёнку фигурках. Вы можете наглядно разложить все 8 фигурок на столе и вместе с ребёнком на практике разобраться с этим вопросом. Далее в задачах мы будем говорить уже не о фигурках, а о каких-то других предметах, но принцип рассуждения будет тот же самый.

Итак, теперь, когда мы уже многое посчитали на примерах колец-«домиков» и фигурок, можно переходить и к решению задач. В них тоже удобно будет рисовать на бумаге кольца-«домики» и представлять, что там «сидят» описываемые в задаче элементы.

Задача 1.

Во дворе гуляли 10 девочек. Из них 7 было с бантиками и 6 с косичками. Как такое могло быть?

Решение.

Так как девочек с бантиками плюс девочек с косичками будет 7 + 6 = 13, то есть больше десяти, значит, какие-то девочки были и с косичками, и с бантиками. Сколько было таких девочек? Это посчитать очень просто: мы посчитали всех девочек только с бантиками, всех девочек только с косичками, и два раза всех девочек с косичками и бантиками – получили 13. То есть всех девочек с косичками и бантиками будет как раз 13 – 10 = 3. Чтобы узнать, сколько было девочек только с косичками, нужно из количества всех девочек, имеющих косички, вычесть девочек, имеющих ещё и бантики: получится 6 – 3 = 3 девочки с косичками без бантиков. Аналогично получаем, что с бантиками было 7 – 3 = 4 девочки с бантиками без косичек. Глядя на рисунок, легко проверить, что девочек между двумя множествами-кругами мы распределили верно.

Alt text

Теперь, мы надеемся, у вас есть все необходимые навыки для решения задач этого занятия. Не забывайте, что проще всего изображать множества на бумаге, а уже потом пытаться «поселить» в них все элементы.

Желаем успехов!

Испытайте свои знания!

Для самых умных и талантливых учеников мы проводим на сайте дистанционную интернет-олимпиаду. Сразу же после прохождения олимпиады показываются результаты и полный разбор задач для работы над ошибками. В зависимости от успехов олимпиадника выдаются электронные дипломы и похвальные грамоты.

Каждый участник получает электронный сертификат участника.

Принять участие