Логические задачи для 1 класса

Занимательная математика
Загадки на логику
Логические задачи с ответами
Олимпиадные задания
Математическое развитие
Сложные задачи

Это учебная статья по математике, перед началом занятий мы рекомендуем ознакомиться с вводной частью

Изучая ту или иную вещь, люди описывают её и высказывают различные утверждения о её свойствах. А потом из этих утверждений делают различные выводы. Например, Андрюша увидел на улице ёлку. Придя домой, он сказал сестрёнке: «Я только что видел украшенную гирляндами ёлку». Из этого сестрёнка сделала такой вывод: «Значит, сейчас зима».

Что такое «утверждение»? Это предложение, в котором что-то утверждается и про которое можно сказать, правду оно говорит или нет. Например, «сейчас январь» – утверждение, потому что мы можем посмотреть на календарь и проверить, правда это или нет. А фраза «Пойдем гулять?» не является утверждением, потому что в этом предложении спрашивается, а ничего не утверждается.

В математике есть целый раздел, который изучает различные утверждения и связи между ними. Этот раздел называется Логика. С ним мы и познакомимся в этом занятии.

Утверждения бывают истинные и ложные. Например, если ёлка, которую видел Андрюша, действительно была украшена гирляндами, то он сказал сестрёнке правду, то есть истинное утверждение. Если же на той ёлке никаких гирлянд не было, то его утверждение было ложно. Вот ещё несколько примеров истинных утверждений:

  1. 9 – 3 = 6;

  2. 3 < 23;

  3. На планете Земля есть жизнь;

  4. Данное занятие посвящено логике.

А вот примеры ложных утверждений:

  1. 5 = 2 + 2;

  2. На Луне водятся мыши.

Истинность некоторых утверждений зависит от обстоятельств. Как мы уже видели, таковым является утверждение Андрюши про ёлку. Посмотрим на утверждение 3) из нашего списка верных утверждений. Сейчас оно истинно. Но если бы оно было сказано 4 миллиарда лет назад инопланетянами, изучающими нашу планету, то оно было бы ложно (так считают учёные). Верное утверждение 4) тоже могло бы быть ложным, если бы оно было напечатано не в этом занятии, а в каком-то другом. А может ли утверждение 2) из списка ложных утверждений стать истинным когда-нибудь? Да, может! В ближайшие годы Китай планирует построить космическую станцию на Луне. И не исключено, что у них на станции заведутся мыши!

В нескольких наших задачах будут фигурировать два персонажа: Вера и Лера. Вера всегда говорит только истину и на все вопросы отвечает правдиво. А Лера, наоборот, всегда говорит только ложные утверждения и врёт, отвечая на любой вопрос.

Задача 1.

Существует ли утверждение, которое может сказать как Вера, так и Лера?

Неверное решение.

Такого утверждения не существует, так как любое утверждение, которое может сказать Вера, является истинным, и, следовательно, Лера его сказать не может.

Верное решение.

Такое утверждение существует. Например, вот такое: «Меня зовут Вера». Истинность этого утверждения зависит от того, кто его говорит. Если это скажет Вера, то она скажет правду – а она может сказать только правду. Если это скажет Лера, то она солжёт – а она может только солгать.

Упражнение.

Сформулируйте, в чем ошибка вышеприведённого неверного решения?

Задача 2.

Правда ли, что все мыши, живущие сейчас на Луне, являются летучими?

Неверное решение.

Это не правда, так как на Луне нет мышей.

Верное решение.

Это правда, так как на Луне нет мышей, а следовательно, нет и таких мышей, которые не являлись бы летучими. То есть нелетучих нет, значит, все – летучие.

Заметьте, так же мы можем утверждать, что на Луне все мыши – плавучие. Секрет тут в том, что если каких-то объектов нет совсем, то про них можно сказать всё что угодно – ведь нет ни одного, для которого это было бы неверно.

Поясним сказанное на примере. Рассмотрим такое утверждение: «Все буквы в слове ВСПЛЕСК – согласные». Это утверждение неверно, то есть на самом деле не все буквы в слове ВСПЛЕСК являются согласными. Как нам это доказать? Очень просто: нужно привести пример буквы в этом слове, которая является гласной. Это третья с конца буква. Замечательно, доказали. А теперь на секундочку представьте себе, что нам не удалось привести пример гласной буквы. Причём не удалось не потому, что мы плохо искали! Представьте, что мы честно перебрали все буквы и убедились, что гласных там нет. Что бы это означало? Это бы означало, что все буквы – согласные. Например, следующее утверждение истинно:

Все буквы между звёздочками – согласные: ✻ ✻

Это можно использовать в своих целях. Вот представьте, ваш друг спрашивает вас, хорошо ли вы катаетесь на коньках. А вы, допустим, ни разу в жизни даже не вставали на коньки, но признаться в этом другу вам стыдно. Тогда вы можете ответить ему так: «Сколько раз я ни катался на коньках – ни разу не падал». Это будет чистой правдой, ведь не было такого случая, чтобы вы катались и упали. То есть вы и не соврёте, и в глазах друга не упадёте.

Задача 3.

Известно, что если по дому крадётся вор, то ступеньки скрипят. Баба Зоя услышала, что ступеньки скрипят. «По дому крадётся вор», – подумала она. Обязательно ли баба Зоя права?

Решение.

Баба Зоя может быть неправа. В условии задачи сказано, что если крадётся вор, то ступеньки скрипят. Но не сказано, что они скрипят только в этом случае. Быть может, они ещё скрипят, когда по дому крадётся внук Андрюша.

Задача 4.

После битвы со Змеем Горынычем три богатыря заявили:

Илья Муромец: «Змея убил Добрыня Никитич».

Добрыня Никитич: «Змея убил Алёша Попович».

Алёша Попович: «Змея убил я».

Кто убил Змея, если известно, что только один из них сказал правду? Объясните свое решение.

Решение.

Рассмотрим три случая: а) Илья убил; б) Добрыня убил; в) Алёша убил.

а) в этом случае получается, что все богатыри лгут. Это не подходит по условию;

б) в этом случае получается, что правду сказал один – Илья Муромец. Это подходит;

в) в этом случае получается, что соврал только Илья Муромец. Не подходит по условию.

Ответ:

Змея убил Добрыня.

Следует отметить, что несмотря на то, что уже в пункте б) мы пришли к ответу, не противоречащему условию, мы, тем не менее, не остановились на этом. Следует всегда продолжать искать другие возможные варианты ответов – ведь нам никто заранее не сказал, что задача решается однозначно. Если бы получилось, что, например, пункт в) тоже бы удовлетворял условию, мы бы дали такой ответ: «Змея убил либо Добрыня, либо Алёша». У задачи вполне мог бы быть такой ответ.

В заключение приведём пример задачи, в которой все утверждения истинны.

Задача 5.

В квартирах №1, 2, 3 живут три котёнка: белый, чёрный и рыжий. В квартирах №1 и №2 живёт не чёрный котёнок. Белый котёнок живёт не в квартире №1. В какой квартире живёт каждый котёнок?

Решение.

Поскольку чёрный котёнок не живёт ни в квартире №1, ни в квартире №2, то он живёт в квартире №3. Посмотрим, кто живёт в квартире №1. Это не чёрный котёнок (он в квартире №3) и не белый, так как по условию он не живёт в квартире №1. Значит, там живёт рыжий котёнок. Тогда оставшийся белый котёнок живёт в квартире №2.

Ответ:

в квартире №1 живёт рыжий котёнок, в квартире №2 – белый, в квартире №3 – чёрный.

Желаем успехов!

Испытайте свои знания!

Для самых умных и талантливых учеников мы проводим на сайте дистанционную интернет-олимпиаду. Сразу же после прохождения олимпиады показываются результаты и полный разбор задач для работы над ошибками. В зависимости от успехов олимпиадника выдаются электронные дипломы и похвальные грамоты.

Каждый участник получает электронный сертификат участника.

Принять участие