Задачи со спичками

Занимательная математика
Загадки на логику
Логические задачи с ответами
Олимпиадные задания

Это учебная статья по математике, перед началом занятий мы рекомендуем ознакомиться с вводной частью

Это тесный-тесный дом,

Сто сестричек жмутся в нём.

Не шути с сестричками,

Тоненькими …

Предлагаем вашему вниманию очередную серию задач на игры со спичками. Многие из вас уже знакомы с основными принципами работы с подобного типа задачами. Для тех же, кто впервые встречается с ними, мы коротко повторим основные пункты.

Задачи со спичками традиционно являются задачами на перекладывание или убирание какого-то количества спичек. Обычно в условии нам предлагается какая-либо фигура, из которой, переложив или убрав указанное количество спичек, нужно получить новую фигуру, удовлетворяющую каким-то требуемым свойствам.

  1. Во всех без исключения задачах на спички запрещается гнуть или ломать спички, а также класть их одну на другую (считая, что это одна спичка).

  2. Если требуется убрать или переложить какое-то количество спичек, то непременно нужно убрать или переложить именно столько спичек, сколько сказано – ни больше ни меньше.

Одной из самых веселых идей в головоломках со спичками считается нестандартный способ изменения «направления» фигурок, участвующих в спичечном рисунке. Наверняка вы уже встречали следующую задачу:

Задача 1.

Alt text

На рисунке изображена корова. Переложите 2 спички так, чтобы корова «смотрела» в другую сторону.

Решение.

Для того, чтобы показать, что корова «смотрит» в другую сторону – достаточно повернуть корове голову.

Alt text

Кроме задач, аналогичных предыдущей, встречаются и задачи, в которых нужно «обратить» движение, переложив не все спички фигурки. Для этого требуется догадаться, какие из спичек могут участвовать и в том и в другом направлении. Разберём на примере.

Задача 2 .

На рисунке изображена стрела.

Alt text

Переложите 3 спички так, чтобы стрела полетела в противоположную сторону.

Решение.

Посмотрим, что определяет направление движения стрелы. Стрела – это по сути две «галочки», соединённые «перешейком». Каждую из «галочек» можно легко «повернуть» в противоположную сторону, переложив одну спичку. После чего легко найти решение исходной задачи.

Ответ:

Alt text

Схожие идеи решения имеют задачи на «превращение картинок», когда на рисунке выложено изображение одного предмета, а нужно получить изображение другого.

Задача 3.

Alt text

На рисунке из 10 спичек выложено 2 бокала. Переложите 6 спичек так, чтобы получился домик.

Решение.

Чтобы решить задачу, нужно заметить уже почти готовые очертания домика. Мы выделили их на рисунке серым цветом.

Alt text

После чего уже остается только «достроить» домик.

Ответ:

Alt text (нижние спички сдвигаются на половину длины).

В этом занятии вам также будет предложено убирать или перекладывать определённое количество спичек для получения из одного набора геометрических фигур – другой набор (указанное количество квадратов или треугольников). Обращайте внимание на оговорённые в условии особенности этих фигур: например, квадраты часто требуются одинаковые, а треугольники – равносторонние, то есть такие, у которых все стороны состоят из одинакового числа спичек. Однако, когда это явно не указано, можно составлять любые треугольники и квадраты.

В этих задачах стоит помнить про основной принцип: какой бы набор геометрических фигур ни требовалось получить, строго запрещается присутствие в финальной картинке каких-либо «висячих спичек». То есть спичек, не входящих в состав ни одной из требуемых в условии геометрических фигур, спичек, просто лишних, оставшихся от изначальной фигуры. Даже если эти лишние спички образуют вполне законченную геометрическую фигуру, но в задаче о ней не сказано ни слова, они всё равно будут считаться «висячими». Каждая оставшаяся на столе спичка обязана входить в состав требуемой в условии фигуры!

Задача 4.

Alt text

Решётка из спичек образует 9 одинаковых квадратов. Уберите 4 спички так, чтобы осталось ровно 5 квадратов.

Ответ:

Alt text

Обратите внимание на полное отсутствие «висячих спичек»! Действительно, каждая спичка является составляющей частью какого-либо квадрата. Мы получили ровно пять квадратов. Требование задачи выполнено, а также убрано 4 спички. Значит, задача решена верно.

У некоторых задач бывает 2 и более решения. Например, у этой задачи есть ещё одно решение (см. рисунок ниже).

Alt text

Мы видим, что убрав 4 спички другим способом, мы снова получили ровно 5 квадратов. (Обратите внимание, в этой задаче не сказано, что квадраты должны быть именно одинаковыми – мы можем считать как маленькие, так и большой квадрат!) А также для любой спички мы по-прежнему можем указать хотя бы один квадрат, в состав которого она входит. Значит, мы получили ещё одно решение нашей задачи.

На нижних рисунках приведён пример, не являющийся решением задачи. Хотя, казалось бы, все условия выполнены: убираем серые спички, и у нас остаётся 5 полных квадратов. Однако спички, выделенные красным – будут «висячими», а их наличие противоречит основным принципам решения «Задач со спичками».

Alt text Alt text

Задача 5.

Переложите 4 спички из 16 так, чтобы получилось ровно 3 квадрата.

Alt text

Ответ:

Возможные варианты:

Alt text Alt text

Также вы встретите в этом задании ещё один тип задач – более творческий. В таких задачах требуется самим построить из заданного количества спичек фигуру, описанную в условии. Как её строить, и что автор подразумевает под, например, «двумя ромбами», – ребёнок должен догадаться сам (хотя, конечно, что такое ромб – ребёнку нужно объяснить: это четырёхугольник, все стороны которого состоят из равного количества спичек). Такие задачи требуют чуть больше практики, сноровки и пространственного воображения, чем описанные выше.

Задача 6.

Из 10 спичек сложите 3 квадрата.

Решение.

На 3 отдельных квадрата нам потребуется 3 × 4 = 12 спичек, тогда как у нас их только 10. Значит, нужно, чтобы наши квадраты имели общие стороны.

Ответ 1:

Alt text

Ответ 2:

Alt text

Мы видим, что у этой задачи снова может быть 2 решения.

Завершением идеи складывания нужного количества геометрических фигур является выход в пространство. Конечно, некоторые из разобранных выше задач можно решить и в пространстве. Но имелось и плоское решение. В следующем же примере плоским случаем обойтись не удастся. Чтобы было удобно решать такие задачи, можно предложить ребёнку воспользоваться пластилином для «скрепления» спичек или магнитным набором палочек и шариков.

Задача 7.

Из 12 спичек сложите 6 квадратов.

Решение.

Сосчитаем количество необходимых спичек. У каждого квадрата их 4, всего квадратов 6. Итого 4 × 6 = 24. Но у нас 12 спичек. Это значит, что каждая (!) спичка должна быть стороной двух квадратов. Очевидно, что на плоскости это невозможно. Выйдем в пространство.

Решением этой задачи будет являться кубик, сложенный из спичек, со стороной, равной одной спичке. Действительно, у кубика 12 рёбер, а его грани (стороны) образуют 6 квадратиков.

Alt text (Серым цветом нарисованы «задние» спички для лучшего пространственного восприятия рисунка.)

Также в занятии вам встретятся задачи на нетривиальное перекладывание: спичечный квадратик может вовсе не выглядеть так, как мы привыкли. А может даже иметь сторону из половины спички!

Задача 8.

Alt text

Переложите две спички из девяти так, чтобы получилось три квадрата одного размера. Гнуть, ломать и перекрещивать спички нельзя.

Ответ:

Решением являются «совмещённые» квадраты.

Alt text

На рисунке мы можем увидеть 2 обычных квадрата, а также один посередине, выделенный голубым цветом,. Цифры на рисунке стоят в левом нижнем углу каждого квадрата.

Интересно, что мы можем таким образом разместить ещё один квадрат, добавив две спички, потом ещё один…

Выше мы привели примеры решений некоторых задач. Как вы уже убедились, решение вполне может быть не единственным. Всё зависит только от фантазии вашего ребёнка! Внимательно следите, чтобы он не нарушал условий, и, если у него получится ответ, не совпадающий с предложенным нами, порадуйтесь, что ваш ученик нашёл оригинальное решение! При желании, в качестве упражнения, вы можете предложить ребёнку поискать другое решение этой задачи.

Желаем успехов!

Испытайте свои знания!

Для самых умных и талантливых учеников мы проводим на сайте дистанционную интернет-олимпиаду. Сразу же после прохождения олимпиады показываются результаты и полный разбор задач для работы над ошибками. В зависимости от успехов олимпиадника выдаются электронные дипломы и похвальные грамоты.

Каждый участник получает электронный сертификат участника.

Принять участие