Решение задач с конца

Занимательная математика
Загадки на логику
Олимпиадные задания
Математическое развитие
Сложные задачи

Это учебная статья по математике, перед началом занятий мы рекомендуем ознакомиться с вводной частью

В этом занятии собраны задачи на простую идею. Идея заключается в том, чтобы решать задачи, анализируя ситуацию, описанную в задаче, с конца. Приведём пример такой задачи.

Упражнение.

Коля спросил у Вани: «Сколько тебе лет?» Иван ответил: «Если мой возраст умножить на 2 и отнять 6, то получится 14!» Сколько же лет Ивану?

Решение.

Последним действием Иван отнял от какого-то числа(удвоенного возраста) число 6 и получил 14, значит, отнимал он от числа 14 + 6 = 20. Действительно: 20 - 6 = 14. До вычитания Иван умножил свой возраст на 2 и получил 20, поэтому для нахождения возраста Ивана осталось 20 разделить на 2 = 10. Значит, Ивану 10 лет.

Ответ:

Ивану 10 лет.

Задача 1.

В магазине продают материю. Всего за день покупателей ситца было 5 человек. Каждый следующий покупатель ситца забирал половину того, что было до него. Сколько ситца было в начале дня, если в конце осталось полметра?

Решение.

Будем решать задачу с конца: если осталось полметра, то последний покупатель купил тоже полметра, и до него оставался один метр. Тогда четвертый покупатель купил метр, и до него было два метра, третий – два, до него было четыре, второй – четыре, до него было восемь. Первый купил восемь, а до него было шестнадцать. Значит, в начале дня было 16 метров ситца.

Ответ:

16 метров.

Удобно оформить решение с помощью таблицы:

Alt text

Замечание.

Возможно, ваш ребёнок уже знает такое слово, как уравнения, и умеет их составлять. Постарайтесь убедить его не использовать уравнения при решении задач этой темы. Идея этого алгоритма как раз и состоит в решении задач без использования уравнений.

Задача 2.

1 мая в пруду расцвела лилия. На следующий день расцвели уже две лилии. Ещё на следующий день – четыре. И так далее. Каждый день количество лилий в пруду удваивалось, пока 31 мая пруд не оказался заполнен лилиями целиком. Какого числа пруд был заполнен лилиями только наполовину?

Решение.

Понятно, что можно попробовать решить эту задачу в лоб: посчитать количество лилий, расцвётших на пруду 31 числа, а потом посмотреть, когда же расцвела половина от этого числа. Однако числа получатся огромными – ведь уже на 11 день на пруду зацветёт аж 1024 лилии… Попробуем пойти другим путём, а именно – рассмотрим ситуацию с конца. Если 31 числа пруд был заполнен лилиями целиком, то на сколько он был заполнен лилиями 30 мая? Мы знаем, что 31 мая лилий распустилось в два раза больше, чем 30, и стало равно целому пруду. Но сколько нужно удвоить, чтобы получить целое? Половину. Значит, 30 мая пруд зацвёл наполовину. Тем самым мы нашли ответ. Стоит отметить, что мы ничего не считали! И нам было абсолютно неважно, сколько именно лилий расцвело на пруду!

Ответ:

30 мая.

Комментарий для родителей.

Возможно, потребуются комментарии по условию задачи. Кто-то может понять условие так, что лилии расцветают и так и остаются цвести. Новые лилии добавляются к уже имеющимся. То есть может показаться, что, например, на второй день на пруду цвели 3 лилии, а не две. Но это не так. Лилии, как все цветы, на ночь закрывают свои бутоны, и, естественно, если прийти на пруд достаточно рано, то он будет пуст – цветов не будет. Поэтому, согласно условию задачи, на второй день на пруду цвели 2 лилии, а не 3.

Замечание.

Часто ребёнок, не задумываясь, выпаливает ответ, который кажется самым естественным в этой задаче – 15 или 16 мая. Рассуждая, что половину озера закроют лилии за половину месяца. Задачи этого занятия заставят ребёнка задуматься о том, что очевидный ответ не всегда является правильным.

Желаем успехов!

Испытайте свои знания!

Для самых умных и талантливых учеников мы проводим на сайте дистанционную интернет-олимпиаду. Сразу же после прохождения олимпиады показываются результаты и полный разбор задач для работы над ошибками. В зависимости от успехов олимпиадника выдаются электронные дипломы и похвальные грамоты.

Каждый участник получает электронный сертификат участника.

Принять участие