Геометрия в 1 классе

Занимательная математика
Нестандартные задачи с решением
Олимпиадные задания
Математическое развитие

Это учебная статья по математике, перед началом занятий мы рекомендуем ознакомиться с вводной частью

Историческая справка

Геометрия, как и другие науки, возникла из потребностей практики. Само слово «геометрия» греческое, в переводе означает «землемерие». Люди очень рано столкнулись с необходимостью измерять земельные участки. Это требовало определённых знаний и умений. Начав с прямоугольников и треугольников, постепенно начали измерять и изучать свойства более сложных геометрических фигур.

По дошедшим до нас египетским папирусам и древневавилонским текстам видно, что уже за 2 тысячи лет до нашей эры люди умели определять площади треугольников, прямоугольников, трапеций, приближенно вычислять площадь круга. Они знали также формулы для определения объёмов куба, цилиндра, конуса, пирамиды и усеченной пирамиды. Сведения по геометрии вскоре стали необходимы не только при измерении земли.

Сейчас геометрия – один из важнейших разделов математики. Конечно, она занимается не только измерением площадей. Мы будем относить в этот раздел задачи, так или иначе связанные с линиями на плоскости и в пространстве. Геометрические знания очень нужны художникам и архитекторам, проектировщикам дорог и космических кораблей. Да и любому человеку не помешает хорошее пространственное воображение.

В данном занятии мы познакомимся с некоторыми геометрическими фигурами, будем развивать геометрическое видение рисунка. У некоторых людей пространственное видение развито от природы очень хорошо, они в уме могут решать геометрические задачи, играть вслепую в шахматы, ориентироваться на местности. Не у всех это есть с рождения. Геометрические задания помогут развить такое воображение.

Начнем с самого начала – с геометрических объектов.

Геометрические фигуры

Точки:

Alt text

Что такое точка? Если взять остро заточенный карандаш и слегка коснуться им бумаги, то кончик карандаша оставит на бумаге отметку. Это и есть точка. Вернее, это изображение точки. В математике точка – неопределяемое понятие, интуитивно понятное. Мы будем изображать точки так, как на рисунке выше. Главное, помнить, что точка не имеет ни длины, ни ширины.

Отрезки:

Alt text

Что такое отрезок? Отрезок – это часть прямой линии, которая тянется бесконечно далеко, но не имеет толщины, то есть у отрезка есть длина, но нет толщины. Конечно, мы рисуем отрезки разной толщины, но подразумеваем: толщина у них у всех одинаковая – «никакая» или нулевая.

Треугольники:

Alt text

На рисунке видно, что треугольник состоит из трёх отрезков. Его можно было бы назвать «трёхсторонником». Подумайте, почему эту фигуру называют «треугольником».

Прямоугольники:

Alt text

Квадраты:

Alt text

Квадрат – тоже прямоугольник, но с равными сторонами, то есть каждый квадрат является прямоугольником; но можно нарисовать прямоугольник, который не является квадратом.

Чтобы убедиться, что все вышесказанное понятно, предложите ребёнку выполнить следующие упражнения:

  1. Нарисуй точку.
  2. Нарисуй ещё одну точку.
  3. Соедини точки отрезком.
  4. Нарисуй ещё один отрезок.
  5. Нарисуй третий отрезок, который будет пересекать предыдущие два.

А что же такое пересекающиеся отрезки?

Всё очень просто:

Alt text

На первом рисунке отрезки пересекаются, а на втором – нет.

  1. Нарисуй треугольник.
  2. А почему треугольник называется треугольником? Покажи на рисунке три угла и три стороны.
  3. Есть ещё четырёхугольники, у которых четыре угла. Нарисуй какой-нибудь четырёхугольник.
  4. Сколько у четырёхугольника сторон? Покажите эти стороны.

Alt text

Нарисуйте пятиугольник, спросите ребёнка, как называется эта фигура (если он не угадал, помогите, посчитайте, сколько у фигуры сторон, сколько углов, вершин).

Alt text

Среди четырёхугольников встречаются прямоугольники! Покажите, что такое прямоугольник. Легче всего это сделать на клетчатой бумаге. Сколько у прямоугольника сторон и сколько углов?

КВАДРАТ

Пришёл из школы старший брат,

Из спичек выложил квадрат.

Дала мне мама шоколад,

Я дольку отломил – квадрат.

И стол – квадрат, и стул – квадрат,

И на стене плакат – квадрат,

Доска, где шахматы стоят,

И клетка каждая – квадрат,

Стоят там кони и слоны,

Фигуры боевые.

КВАДРАТ – четыре стороны,

Все стороны его равны,

И все углы прямые.

Упражнение 1.

В приведенном выше стихотворении мальчик ищет квадраты в знакомых предметах. Подумайте, какие из описываемых предметов могут быть не обязательно квадратными.

Упражнение 2.

На рисунке приведены различные фигуры. Как они называются?

Alt text

Ответ:

четырёхугольник, шестиугольник, окружность, круг.

Если вырезать, например из бумаги, две одинаковые фигуры, то их можно положить друг на друга так, чтобы они совпали. Такие фигуры называют равными. Иногда для того, чтобы фигурки совпали, одну из них нужно не просто подвинуть, а ещё и перевернуть.

Упражнение 3.

Alt text

На рисунке приведены различные фигуры. Найдите среди них равные. Какие фигурки совпадут, даже если их не переворачивать?

Ответ:

равные фигурки: 1) А, В, Д; 2) Б, З; 3) Е, Ж, Л.

Если нельзя переворачивать, то нельзя совместить Д с А и В и Ж с Е и Л.

Кроме знакомства с первоначальными понятиями геометрии, в это задание включены задачи на подсчёт, то есть когда на рисунке требуется сосчитать фигуры заданного вида.

Задача 1.

Alt text

Сколько квадратов вы видите на рисунке? А сколько прямоугольников, не являющихся квадратами?

Решение.

Во-первых, на рисунке есть 4 квадрата размером 1 х 1, из которых и состоит наша фигура. Но эти маленькие квадраты образуют один большой квадрат, то есть на рисунке изображено 5 квадратов.

Во-вторых, сколько прямоугольников на картинке? Все квадраты, уже подсчитанные нами, являются прямоугольниками. Но ещё есть прямоугольники 1 х 2, составленные из двух маленьких квадратов. Таких прямоугольников четыре (два горизонтальных и два вертикальных).

Ответ:

5 квадратов, 9 прямоугольников, из которых 4 прямоугольника квадратами не являются.

В решении предыдущей задачи мы просто перебрали всевозможные прямоугольники. Здесь этот перебор короткий и несложный, но мы действовали по чёткому плану. Сначала мы подсчитали все маленькие прямоугольники (квадраты), то есть прямоугольники, состоящие из одного кусочка; затем прямоугольники, не являющиеся квадратами, то есть прямоугольники из 2 кусочков. Дальше было бы логично посмотреть прямоугольники из 3 кусочков, но таких нет. И, наконец, последним шагом считаем один большой квадрат, состоящий из 4 маленьких кусочков. Именно такой метод перебора мы советуем применять вам в качестве основного метода решения подобных задач. От маленьких фигур, к фигурам побольше.

Теперь познакомимся с таким понятием, как граница, что же это такое? Разберем следующую задачу.

Задача 2.

В стране Шоколадния есть 3 герцогства, каждое из них в форме треугольника, при этом сама Шоколандия тоже имеет форму треугольника, а также известно, что любые два герцогства граничат друг с другом. Как же могут быть расположены эти герцогства?

Решение.

Поскольку Шоколандия – треугольники, то все её герцогства тоже треугольники, поэтому задача сводится к разбиению треугольника на три других с определённым условием. Сначала посмотрим на рисунок 1). На первый взгляд все условия выполнены, и герцогства треугольной формы, и Шоколандия – тоже треугольник. Но мы всё-таки не выполнили одно условие, ведь оранжевое герцогство не граничит с зелёным. Действительно, чтобы они граничили, у них должна быть общая граница. А её нет! (точка – это не граница)

Alt text

Теперь посмотрим на рисунок 2), на нём уже каждое герцогство граничит с каждым другим, ведь у любых двух герцогств есть общая граница. Таким образом, рисунок 2) является возможным решением задачи в отличие от рисунка 1).

Желаем успехов!

Испытайте свои знания!

Для самых умных и талантливых учеников мы проводим на сайте дистанционную интернет-олимпиаду. Сразу же после прохождения олимпиады показываются результаты и полный разбор задач для работы над ошибками. В зависимости от успехов олимпиадника выдаются электронные дипломы и похвальные грамоты.

Каждый участник получает электронный сертификат участника.

Принять участие